chx休学时间正好在家把范畴论学一下，或许对于理解一些抽象的结构能有些许帮助
教材：Basic Category Theory - Tom Leinster, Cambridge studies in advanced mathematics
upd on 20260212 终于学完了，感觉这个东西一点用都没有
范畴论的思想是：当看待一个数学结构的时候（譬如全体群构成的真类以及它们之间的同态），我们不关心这个数学结构的对象是怎么构造的，而是关心这个数学结构的对象之间是如何交互的。这个思想和现代物理学的内核其实很像，对于一个十分小的粒子，既然我们还无法知道它内部的结构是怎么样的（甚至可能永远都无法知道，比如说这个粒子需要用光速的物体来轰击它它才会裂开），那么我们干脆用其他的已知的粒子来和它互动一下，看看他们是怎么交互的，会产生什么样的结果，从而来刻画这一个粒子的特性。当然通俗的，我们可以用一个常见的习语来描述这种思想：
如果一杯东西它闻起来像豆浆、看起来像豆浆、喝起来像豆浆…在一切探测手段下它都和豆浆一样，那么它就是豆浆。
基本的元素
为了应用这一思想，范畴论定义了一系列东西，它们是
- 范畴 ├── 对象 └── 态射与态射间的连接
- 范畴间的函子
- 函子间的自然变换
当然这些定义是有层次的，那我们是否可以继续拓延这些层次，定义出类似于自然变换的自然变换、NT的NT的NT等等这些概念呢？完全可以，按需自取即可。
之后，用范畴论语言来描述一个对象的性质的行为，我们称其为泛性质（实际上是，我们可以用态射来一一描述这个对象，而不依赖对象内部的结构，这也算是给出了一个对象在范畴论意义下的定义吧）。泛性质是范畴论的核心，为讨论和描述泛性质，我们有三种主要的结构：伴随、表示、极限。
UPD on 2026.5.7 我现在已经不知道学习这个范畴论的意义是什么了，或许这个课程对我来说太早了。它并没有为我提供一个全新的工具，所以为了宽慰自己，我只能说学习了（我学习了吗？）这个课程之后我获得了一种新的视角，或者说新的理念来看待我遇到的数学对象。
但是令我迷茫的地方在于，我接下来的时间都在学习（或者说尝试学习）数理逻辑和集合论的内容，从而继续去到递归论的一些内容，但是我发现这些学科研究的对象他们更多是语义相关的，当我们重新审视作为数学的基础的时候，我发现了一个很悲观的事实：我们在某种程度上只能在有穷的语言内来尝试捕获MetaUniverse内的一些信息，这使得对于“我们能知道什么，不能知道什么”这个更加宏大的问题上，这种Categories的Idea是于事无补的，有穷对人类的限制太可怕了。
而且和Yoneda Lemma的（某种意义上的）哲学宗旨不同的地方在于：如果两个对象看起来是一样的，更多可能是因为我们的系统太弱了，以至于无法发现他们在MetaUniverse中的本体的差别。那么差别究竟是什么呢？这种无力感很强，我已经迷茫了，感觉有点不知所措，或许该放下这一堆烂摊子去做一做其他有实际意义的事情了。
用语言来认知世界的方法的限制源于语言本身。我清晰的知道了这个限制存在。