初始调整法(贪心)

引例：

$证明:圆内接四边形中正方形的面积最大$

$在圆上顺时针任取四点 A , B , C , D 构成凸四边形，固定对角线 AC , 分别令 B , D 在对应的圆弧上自由滑动 .$ $\because S_{四边形ABCD}=\frac {(d_{B-AC}+d_{D-AC})\cdot |AC|}2$ $\therefore 最大化S_{四边形ABCD}\Rightarrow 最大化(d_{B-AC}+d_{D-AC}) \Rightarrow 分别最大化 d_{B-AC} 与 d_{D-AC}$ $显然，当 B , D 分别取到对应圆弧上的平分点时两点到 AC 的距离同时最大$ $\therefore 对于任意对角线AC， BD 垂直平分 AC 时，即BD与直径重合时，S_{四边形ABCD}最大$ $\therefore 对于所有固定了对角线AC的四边形ABCD来说，BD一定与直径重合$ $\therefore 圆内接四边形中面积最大的那个的对角线BD也一定与直径重合$ $现在调整A,C的位置，使得|AC|值最大，显然AC也与直径重合时，|AC|最大$ $\therefore 对角线AC，BD相互垂直平分 \Rightarrow 四边形ABCD是正方形$ $QED$

牛刀小试

$正数 a , b , c 满足 a+b+c=1 ,求a^2+b^2+2c^2 的最小值$

拓展探究（选做）

$长度为n的实数列\{ a_n\}满足\forall i\in[1,n]有a_i\in[-1,1],且\sum_{i=1}^n a_i=0$

$(1)若x>0,\Delta x \not= 0,试比较2x^3与(x+\Delta x)^3+(x-\Delta x)^3的大小$

$(2)证明:\sum_{i=1}^n a_i^3 <\frac{n}3$